本帖最后由 loy_20002000 于 2017-6-5 00:29 编辑
易恒先：
你的精神有问题。
loy_20002000 发表于 2017-6-3 19:19 static/image/common/back.gif
罗素、怀特海、希尔伯特、布尔巴基学派都试图将数学装进一个笼子。罗素、怀特海是逻辑派；希尔伯特传说是 ...
认真请教一个，像牛顿、爱因斯坦这样的大家，到底是专才大家还是多才多艺的多门精通融会贯通的大家？或者历史上的大家，到底是专才的多，还是多才的多？谢谢！
本帖最后由 生如过客 于 2017-6-3 21:51 编辑
loy_20002000 发表于 2017-6-3 21:06 static/image/common/back.gif
是啊，这个世界是复杂的。中学第一次学概率论，心中骂“这特么是数学吗？”现在却不这么看了。
阿罗的 ...
我单开一帖，还是继续这里讨论？
============
我先贴几个阿罗定理的公设描述：
第一种：
阿罗不可能定理(Arrow's impossibility theorem)的主要内容是：在非独裁的情况下，不可能存在适用于所有个人偏好类型的社会福利函数。更具体地说，阿罗认为，任何一个合理的社会福利函数起码应该满足如下要求：
①其定义域不受限制，即它适用于所有可能的个人偏好类型。
②无关变化的独立性，这一要求可以简单理解为：只要所有人对A和B的偏好不变(不管对例如A和C的偏好如何变化)，则社会对A和B的偏好不变。阿罗证明：满足上述四个条件且具有传递性偏好次序的社会福利函数不存在。他指出，多数规则(majorityrule)的一个根本缺陷就是在实际决策中往往导致循环投票。
③非独裁，即社会偏好不以一个人或者少数人的偏好所决定。
④帕累托原则，即如果所有人都偏好A胜于B，则社会也偏好A胜于B。
第二种：
公理1：个体可以有任何偏好；而且是民主选择——每个社会成员都可以自由地按自己的偏好进行选择（数学上称为原则U—无限制原则：>i，u=1，2，…， m在x上的定义方式无任何限制）。
公理2：不相干的选择是互相独立的；（数学上称为原则I——独立性原则：对于X中的两个事件X和Y，对它们做出的偏好判断与X中的任何其他事件无关）。
公理3：社会价值与个体价值之间有正向关联；（数学上称为原则P—一致性原则：如果对X中的两个事件X和Y，对于所有的i都有xiY不成立。就是说，每人都有同样明确态度的两件事，社会也应该有同样的态度。）
公理4：没有独裁者——不存在能把个体偏好强加给社会的可能。（数学上称为原则D——非独裁原则：不存在某个i，使得阿罗证明，满足这4条公理表述的要求的民主决策的规则是不存在的，就是著名的“阿罗不可能性定理”：如果X中的事件个数不小于3，那么就不存在任何遵循原则U，P，I，D的规则（称为“社会福利函数”）。这表明满足所有一般条件的民主选择要么是强加的，要么就是独裁的结果。
第三种：
1、个人的偏好是唯一的，可表述的，具有序结构的。如John的偏好是A>B>C，根据传递性A>C。偏好可排序。其余同理。
2、社会不排斥任意偏好。如Ame的偏好是C>B>A，仅有她一人如此，但她依然有投票权。
3、无关备选方案的独立性。如John对A、B的偏好仅仅与这两者有关，与C无关。
4、若所有人的【某方面】偏好一致，那么选择应该被反映出来。
5、不存在独裁者可以左右他人的选择。
第四种：
原本想贴忙总的，找不到了。
======================
现在我们看这几条公设。第一条和第二条公设，其目的是什么？界定投票及其内容是随机性的、静止性和孤立性。
可现实中的投票都是一事一议，在面对一事的限定下，可选合理方案数目并不具备随机性，在一定精度范围下，针对一事的投票结果一般是符合正态分布的。在一事明确情况下，投票人之间是可以互相影响的，而这是公设二不允许的。一般投票又是多轮进行，还有投票前的宣传教育等行为。
至于其他，我没仔细想。只要公设有一个反例证明其公设不合理就够了。
为什么没有反对论文？理性人假设也没反对声。没有反对不代表自己不能思考后反对。尽信书不如无书。
至于逻辑演绎如何正确，如何巧妙，哥德尔不完备定理也很巧妙，其公设更合理，而且全面揭示了某种思维方法的错误。这是题外话，不多说。
所以，对于阿罗定理这类结论，重点不是看逻辑演绎，而是看其公设是否符合客观现实，因为结论是要指导客观实践的。当然了，如果就是看着玩，反正不用于实践，那么就无所谓了，因为根据其指导进行实践的错误后果，是不存在的。
==========
补充一句，阿罗定理是要求一个系统满足所有人的无限的随机的需求。面对这个情况，不需要论证，直接可以回答，不可能做到。关键词：所有人，无限，随机。
wq1k 发表于 2017-6-3 21:24 static/image/common/back.gif
认真请教一个，像牛顿、爱因斯坦这样的大家，到底是专才大家还是多才多艺的多门精通融会贯通的大家？或者 ...
牛顿爵士的特点我转一篇文章吧。
3月28号是牛顿的忌日，但是知道的人很少，我们毕竟更关心沈殿霞和张国荣。
其实牛顿老师在科学圈里曾经很有权势，被女王封了爵位成了贵族，人称牛爵爷，官至
皇家造币局局长兼皇家学会会长。如果阿尔伯特没有辞了以色列总统的话和他有一拼。
说他有权势并不仅是官大，主要是贡献大。如果17世纪就有诺贝尔奖的话，牛顿
老师至少能连续垄断4届物理学奖（分光计；力学体系的构建；反射望远镜；万有引力
），同时为了表彰他在炼金方面的造诣，再奉送他一届化学奖。而且这孙子鼓捣出了流
数术，所以菲尔兹数学奖也要给他。要知道，他的这些发现基本都是在26岁以前获得的
，30岁以后牛顿就开始玩票了，成天琢磨上帝和炼金，以及怎样把莱布尼茨搞臭，捎带
手的把以前的发现整理成书。所以你能想象到他在当时的欧洲是如何的一呼万应，敢跟
他叫板的只有莱布尼茨和大主教贝克莱。牛老师死的时候，全英国的名流以给他扶柩为
荣，全欧洲的名流蜂拥伦敦。来自法国的傻逼文科生伏尔泰在国葬现场大受刺激，回去
就写了首诗，嫉妒之情溢于言表。
牛顿老师的一生是天才的一生，战斗的一生，也是孤独的一生。一辈子没有朋友
，也没有结过婚，很可能到死都是处男，关于牛顿是否处男的问题，由于篇幅过长，我
将在另一篇文中论证。当然他肯定不会孤独，因为科学的世界里乐趣无限，快感连连。
出乎世俗想象的是，科学其实远比任何娘们儿都风骚，玩科学比玩女人爽得多，得到一
个成果所获得的高潮强烈而持久，不仅有快感，更有巨大的自我认同感，远胜于那几秒
寒颤之后无边的空虚与落寞。所以陈景润其实是沉溺于美色不能自拔，身体弱架不住高
潮过度被爽死了。
牛顿老师茕茕孑立，形影相吊的原因是多方面的。首先他生性孤傲，自恃高才
，瞅谁都是傻逼，当然不会真心跟傻逼交朋友。同时在他眼里人是不分男女的，只有傻
逼和巨傻逼两种，所以他对女色没兴趣也就可以理解了。有婚介中心给他介绍过几个名
媛，拾掇拾掇都是当王妃的坯子，但一见面就受不了牛顿的牛逼烘烘和不知所云。比如
有次相亲，他把姑娘的手指头塞进了烟斗。
另一方面是外在的，不光他不愿意交朋友，也没有人真正想跟牛顿当朋友，结
交他的人都是有目的的。人们对他只有敬畏和仰慕，并不真的喜欢他。这道理其实很浅
显，绝大部分人都热衷于跟比自己傻的人待着，很少有人愿意在人精的身边衬托自己的
二逼。所以好多人都喜欢小动物和小孩子，就是因为这些东西够傻。不少姑娘一见到小
猫小狗小人儿都会迫不及待的搂抱，接踵而至的就是很嗲的说好可爱欧~，听得我阴毛
都竖起来了。有时候可爱和憨态可掬的潜台词就是弱智。小猴子也很好玩，喜欢的人就
少多了，因为猴子机灵到能戏弄人，那些人没有驾驭猴子的自信。同理，喜欢小孩的都
是喜欢他们的单纯与缺心眼，在他们眼里，小孩跟小动物没有本质区别，也都是四条腿
走路，露着屁眼随时拉撒。如果遇到一个小天才，3岁就会心算三位数乘法或者知道傻
逼二字的正确写法，她们一定会骇破了胆。所以那些喜欢养猫狗的女士们别再标榜自己
有爱心了，你们其实比谁都缺德。我从不喜欢猫狗，这是因为我敬畏大自然的生灵而不
忍戏弄它们；我也不喜欢小孩，因为我把他们当作一个大写的人而不是小畜生看待。
大家不喜欢牛顿的另一个原因是他性格暴戾乖张。长年在他身边的人回忆说，
牛顿在人前只笑过两回，其中一次还是嘲笑：有人问他，欧几里得的《几何原本》那么
老朽，不知道还有什么价值。牛顿闻听放声大笑。而且他人品太差，跟谁都打架。众所
周知他从小就有校园暴力的记录，胖子同学不小心踩了他的风车，他抬手就把胖子打哭
了，我们的教科书居然说这是他有志气的表现。长大了不以拳脚论高下，他就雇用枪手
大骂莱布尼茨，甚至不惜化名亲自去骂，人品至此真是无以复加。莱布尼茨若不是脸皮
厚早就跟纳什一样疯了，而且牛顿老师肯定会拍个片子叫《丑陋心灵》继续恶心人家。
关于牛顿的另一个谎言是他的谦虚，证据就是牛顿老师说过两段著名的话，一
段是站在巨人肩膀上，另一段是海边捡石头子。这确实很有迷惑性，我第一次听到后感
动的直冒鼻涕泡。但任何话语都是有语境的，巨人肩膀那一句的语境是这样的：胡克其
实早就发现了万有引力定律并推导出了正确的公式，但由于数学不好，他只能勉强解释
行星绕日的圆周运动，而且他没有认识到支配天体运行的力量其实是普遍存在的，是“
万有”的。第谷早在100年前就发现了行星的公转其实是椭圆运动，开普勒甚至提出了
行星运动三定律。所以科学界对胡克的成果不太重视。后来数学小狂人牛顿用微积分极
其圆满的解决了这个问题并把他提出的力学三条基本定律成功推广到了星系空间，改变
了自从亚里士多德以来公认的天地不一的旧观点，被科学界奉为伟大的发现。于是胡克
大怒，指责牛顿剽窃了自己的成果。牛顿尖酸刻薄的回敬道：是啊，我他妈还真是站在
巨人的肩膀上呢！这本是一句反语，至少不是真的想客气一下。几百年后罗永浩说自己
只是站在巨人的肩膀上也是这意思。但后人出于塑造完人的目的，只保留了孤立的原话
而去掉了语境，变成了一句彻头彻尾的谦辞。同样的情况出现在另一段话上：牛顿晚年
因为树敌过多，来自欧洲大陆比如法德的一些新锐科学家质问他：“牛顿你丫牛逼什么
啊？”牛顿此时完全的展现了他科学界大宗师的风度与水平，潇洒的回敬道：“我没有
什么牛逼的。我只是一个在海边独自玩耍的小孩，偶尔会为捡到几个美丽的贝壳而欣喜
若狂，却对面前浩瀚的真理大海无所察觉。”意思是说你们他妈的连贝壳都看不见有什
么资格评价我？几十年的官场毕竟不是白混的，牛老师甩片儿汤话的水平已经到了信手
拈来闲庭信步宠辱不惊的境界，所以我们只记住了这一段优美至极、深邃如同诗歌的话
语。
牛顿老师人品差，不谦虚，没朋友，按现在的说法这是典型的高智商低情商，
事业不会成功。但我们也发现，当智商高到一定程度的时候是可以取代情商的。所以那
些说自己情商低的所谓天才们，你们没成功只是他妈的还不够聪明而已，怨不着人家情
商。要知道牛顿是个遗腹子和早产儿，出生时体重不到5斤，没吃过DHA和RHA配方的奶
粉。亲娘改嫁后跟文盲姥姥度过无聊的童年，没有任何的早期智力开发和学前启蒙，7
岁上学以前脑子里空空如也，牛妈妈对他的期望仅仅是认识点字然后回家务农。但是牛
顿上中学后已经熟练掌握了拉丁语希腊语西班牙语和英语，然后被推荐进了剑桥，20出
头就当了卢卡斯教席的终身教授。如果他能活到今天，我一定会请他当熊博网的形象代
言人兼吉祥物。
晚年的牛顿除了升官发财再无其他骄傲之处，而且官迷心窍，没退休一直干到85岁
寿终。当然他并没闲着，写了150万字的神学著作，同时一心扑在化学事业上，在家里
盖了窑子，拿出年轻时搞物理的劲头玩命试验。但这次他的出发点就错了，总是希望从
黄铜和煤渣中提炼出黄金。要知道化学反应只能改变分子并不能改变原子，能给原子做
变性手术的只能是核反应。他违背了化学定律里的物质不灭原则，所以虾米了。
最后，说两段悼词。一段是他的墓志铭：伊萨克牛顿爵士，安葬在这里。他以超
乎常人的智力，第一个证明了行星的运动与形状；彗星轨道与海洋的潮汐。他孜孜不倦
地研究，光线的各种不同的折射角，颜色所产生的种种性质。让人类欢呼，曾经存在过
这样一位，伟大的人类之光。另一段是英国诗人写的：自然和自然的规律隐藏在茫茫黑
夜之中。上帝说：让牛顿降生吧。于是一片光明。
再转一个360百科莱布尼茨的评价：
戈特弗
里德·威廉·凡·莱布尼茨，德国最重要的自然科学家、数学家、物理学家、历史学家和哲学家，一位举世罕见的科学天才，和牛顿（1643年1月4日—1727年3月31日）同为微积分的创建人。他的研究成果还遍及力学、逻辑学、化学、地理学、解剖学、动物学、植物学、气体学、航海学、地质学、语言学、法学、哲学、历史、外交等等
我们熟知的许多牛人，本职工作不是搞研究，也就是现在讲的民科。拉瓦锡的主业是税收官，他的职务把他送上了断头台。笛卡尔做过雇佣军。开普勒的主业是占星家。伽利略抢注望远镜专利是为了钞票。从这里你就知道那是一个神人辈出的时代。
最有代表性的是这么一个段子。《爱丽丝漫游仙境》当年风靡英国，连女王都为之着迷。女王给作者刘易斯 卡罗尔写信，她称赞了小说的奇特与瑰丽，并要求作者下次出新书一定要第一时间邮寄给自己一本先睹为快。结果半年后收到一本《行列式初步：在高次代数方程中的应用》，说到底刘易斯 卡罗尔本职工作是逻辑学家、数学家。
现代去哪里找这种人呐。FaceBook的田渊栋曾经任职Google做无人车项目，按理他对DM的Go1.0 2.0最有发言权，可不幸的是他自己的围棋项目已经嗝屁了。而Go的原理和具体算法，他只能靠猜，说不清到底是什么。
现代离开学术前沿几年就跟不上趟了。现代科技的信息分享太快，更新的频率也快。一个搞了二十年频率派的统计学家可能根本理解不了贝叶斯方法的实质。这在牛顿那个时代是不可想象的。
照现在的知识累计速度，50年后就该出现30岁的学士，45岁的博士了。
loy_20002000 发表于 2017-6-3 21:49 static/image/common/back.gif
牛顿爵士的特点我转一篇文章吧。
:lol大家们都是多才多艺，触类旁通的，现在确实是越来越专业了，可能未来只有靠人工智能融会贯通来开启新的理论时代了。
本帖最后由 loy_20002000 于 2017-6-3 22:40 编辑
生如过客 发表于 2017-6-3 21:34 static/image/common/back.gif
我单开一帖，还是继续这里讨论？
============
你给出的不是公理，是条件。公理如下：
公理1：对所有的x与y，有xRy或yRx，R表示优于或无差异。
公理2：对所有的x、y、z，xRy与yRz意味着xRz，也就是传递性。
条件如下：
条件1：在所有的备选对象中，存在一个由三个备选对象组成的集合；设个体i对S中的三元素的排序为Ti，那么对应于个体排序T1，T2，……Tn所组成的任意个体排序组，存在着一个对全体备选对象而言的许可个体排序组R1，R2，……Rn，使得当且仅当对S中的x和y有xTiy时，才有xRiy。
条件2：设R1，……Rn和R1~，……，Rn~为两组个体排序关系，R与R~为相应的社会排序，而p与p~为相应的社会偏好序。设对每一个i，两组排序Ri与Ri~以下述方式相关联：对于不同于给定的x的x~和y~，当且仅当x~Riy~时，有X~R~y~；对于所有的y~，xRiy~蕴含着xR~y~；对于所有的y~，xPiy~意味着xPi~y~。那么，如果xpy，则xP~y。（社会价值观与个人价值观的正向联系）
条件3：设R1，……，Rn和R1~，……Rn~为两组个体排序，且C(S)和C~(S)为对应的社会选择函数。若对所有个体i以及给定环境S中的所有x和y，当且仅当xR~y时才有XRiy，那么C(S)和C(S~)是相同的（对无关备选对象的独立性）。
条件4：社会福利函数不应该是强加的。
条件5：社会福利函数不应该是独裁性的。
阿罗的条件不讲人话，所以才出现了n多解读版。你列举的三个都是解读版，是否与原版等价嘛，我不清楚。以下我改写他的条件，上面的三套把证明思路搞复杂了，是阿罗为了装形式化硬生生搞出来的。
1、任何一个人的多个偏好具有传递性，如A>B>C。
2、每个人都有一个强偏好排序，不会出现A=B，B>=C这种情况。（质疑阿罗定理的人主要集中在传递性上，甚至连非欧几何都搞出来了）
3、设置一个程序，不论是多数服从少数，还是少数服从多数，程序能反映这种选择。
4、程序正义最终的结果不能是强加的或者某一个人偏好决定的。
再去看我转的原始证明。阿罗证明的是：
如果社会中的各个成员至少能自由地对三个备选对象以任何方式进行排序，那么满足条件2与3且能得出满足公理1与2的社会排序的任一社会福利函数必定要么是强加的，要么是独裁性的。
具体那贴后还有几个回复，这里就不赘述了。
阿罗定理要是能被推翻早有人干了，摘抄一段MBALib的文字：
人们对社会的认识达到一个新的高度。因此阿罗的不可能定理一经问世便对当时的政治哲学和福利经济学产生了巨大的冲击，甚至招来了上百篇文章对他的定理的驳斥。李特尔、萨缪尔森试图以与福利经济学不相干的论点来驳倒阿罗的不可能定理，但又遭到肯普、黄有光和帕克斯的反驳，他们甚至建立了在给定个人次序情况下的不可能性结果。
阿罗定理的实质必须看原始证明，他人的总结往往是词不达意的，甚至曼昆都是如此。它虽然披着形式化的皮，实际就是初中生的逻辑。
——————————————————————
wxmang的文字如下，转自zilewang《极简经济学史》：
下面介绍阿罗不可能定理。
阿罗不可能性定理的直观表述是：如果众多的社会成员具有不同的偏好，而社会又有多种备选方案，那么在民主的制度下不可能得到令所有的人都满意的结果。
阿罗的课题是：投票选举方式能否保证产生出合乎大多数人意愿的领导者或者说将问题简化为：“将每个个体表达的先后次序综合成整个群体的偏好次序”。
阿罗采用数学的公理化方法进行分析，结论是：绝大多数情况下是不可能的。更准确的表达：当至少有三名候选人和两位选民时，不存在满足阿罗公理的选举规则，也即随着候选人和选民的增加，“程序民主”必将越来越远离“实质民主”。
所以阿罗给出了被西方经济学界称为不可思议的定理：如果众多的社会成员具有不同的偏好，而社会又有多种备选方案，那么在民主的制度下不可能得到令所有的人都满意的结果。也即少数服从多数民主原则并不能将个人的偏好汇集成社会的偏好。
简单说明：假如有一个非常民主的群体，或者说是一个希望在民主基础上作出自己的所有决策的社会，对它来说，群体中每一个成员的要求都是同等重要的。一般地，对于最应该做的事情，群体的每一个成员都有自己的偏好。为了决策，就要建立一个公正而一致的程序，能把个体的偏好结合起来，达成某种共识。这就要进一步假设群体中的每一个成员都能够按自己的偏好对所需要的各种选择进行排序，对所有这些排序的汇聚就是群体的排序了。
定理简单说明：假设甲乙丙三人，面对ABC三个备选方案，偏好排序如下：甲(a>b>c)；乙(b>c>a)；丙(c>a>b)（甲(a>b>c)代表--甲偏好a胜于b，又偏好b胜于c等等）。
1、若取a，b对决，那么按照偏好次序排列如下：
甲(a>b)；乙(b>a)；丙(a>b)；社会次序偏好为(a>b)；
2、若取b，c对决，那么按照偏好次序排列如下：
甲(b>c)；乙(b>c)；丙(c>b)；社会次序偏好为(b>c)；
3、若取a，c对决，那么按照偏好次序排列如下：
甲(a>c)；乙(c>a)；丙(c>a)；社会次序偏好为(c>a)
于是得到三个社会偏好次序--(a>b)、(b>c)、(c>a)，其投票结果显示社会偏好有如下事实:社会偏好a胜于b；偏好b胜于c；偏好c胜于a。显而易见，这种所谓的社会偏好次序包含有内在的矛盾，即社会偏好a胜于c，而又认为a不如c。所以按照投票的大多数规则，不能得出合理的社会偏好次序。
所以依靠简单多数的投票原则，要在各种个人偏好中选择出一个共同一致的顺序，是不可能的。这样，一个合理的公共产品决定只能来自于一个可以胜任的公共权利机关，要想借助于投票过程来达到协调一致的集体选择结果，一般是不可能的。
证明阿罗不可能性定理需要利用May关于完美投票的定理。
May完美投票定义：
★没有弃权票（也即选票定义无限制）；
★两个投票者相互换票, 获胜者不变（选票对称且匿名）；
★投票系统对候选人平等（也即当所有投票者换投另一人, 相应的胜出候选人也会改变。 例如简单多数胜出就是一个平等的投票系统）；
★单调性（也即胜出者不会因为得到更多的票而失去胜利，失败者不会因为失去票而得到胜利）。
May定理：如果有奇数个投票人，那么多数胜出投票是唯一符合上述4条规定的投票系统。
May定理的数学形式：设N是一个有限集(全体投票者, 假设有2n+1个人), N的全体子集记为P(N),{0,1}为两点集, 表示候选人,投票为函数 v: N →{0,1}, 记V为v的1原像集, 即投候选人1的投票人全体, 则V是N的一个子集合，反过来也一样, 即N的任何子集合都可能作为投候选人1的全部投票人。 以|V|记V中的人数。投票系统为集合函数 f(N) → {0,1} (集合函数即集合的子集合类上的函数)
多数胜出投票系统指: 对任意V∈P(N), |V|>n 时, f(V)=1, |V|≤n 时, f(V)=0
将N排序, 以π记N的一个位置置换(重新排序), 排好顺序的N的一个A, 以πA记A在π的换位下得到的新的N的子集合， 定义域无限制相当于v的定义域是N。假设满足下面三个条件：
★Neutrality：A∈P(N), Ac记A在N中的余集(补集), 则f(Ac) = 1-f(A)。
★Monotone：任意A, B ∈P(N), A包含于B中, 则有f(A)≤f(B)。
★anonymous：f(πA)=f(A)
则有下属结论（May定理）: 在有奇数个投票者即|N|=2n+1时, 多数优胜系统f, 是唯一满足上述三条性质的集合函数。
根据上述定义，有两个特殊的投票系统或者集合函数，一个是独裁系统， 即除了一个投票人之外，所有的票都被无视，相当于集合函数只在包含这一个人的子集合上非0。另外一个是强加系统，也即存在一个候选者无视所有的投票, 计票输出函数强行赋值给1，也即投票系统函数是平凡的集合函数。
显然根据上述May定理，只需要简单改造，就能证明阿罗不可能定理，例如：
★投票系统仍然为集合函数, 但函数的取值为候选人的一种名次排列(全序)， 要求每个投票人给出一种候选人的全序, 投票系统必须给出候选人的全序，同时候选人平等（也即 候选人置换后, 投票系统函数输出的全序不变）；
★传导性(把May假设从Neutrlity换成Consensu) 如果对两个候选人,每个投票人都给出同样的序关系 A>B, 则投票系统对此二候选人给出同样的序关系 A>B；
★第三方独立性（即投票系统输出两个候选人的序关系, 独立于其他候选人）；
★非独裁性（即如果有一个投票者(独裁者), 同意A>B, 其余投票者都相反, 则投票系统输出中, A<B）。
这样假设改进后，极易证明阿罗不可能定理：不存在这样的投票系统, 满足上述四个条件, 还能输出一个全序出来。
阿罗证明的思路：假设群体S上有m个个体成员，群体中出现的各群体种事件构成一个集合X，每个个体对每一事件都有自己的态度，即每个人都对集合X有一个偏好关系>i=1，2，…，m。即可以按自己的偏好为事件排序。
定义群体的偏好为：其中P是一种由每个个体偏好得出群体偏好的规则。按这个规则从个体排序(偏好)得到群体排序(偏好)，而且这个排序符合民主社会的民主决策的各种要求。注意这个排序是自反的，即如果A>B，那么，B<A；是传递的，即如果A>B，B>C，则有A>C；并且还是完全的，即要么A>B，要么B>A，二者只有其一而且必有其一。这首先要考察一下民主社会的民主决策的各种要求是什么，阿罗用4个公理表述出这些要求。
公理1：个体可以有任何偏好；而且是民主选择--每个社会成员都可以自由地按自己的偏好进行选择；
公理2：不相干的选择是互相独立的；
公理3：社会价值与个体价值之间有正向关联；
公理4：没有独裁者--不存在能把个体偏好强加给社会的可能。
阿罗证明，满足这4条公理表述的要求的民主决策的规则是不存在的：如果X中的事件个数不小于3，那么就不存在任何遵循原则U，P，I，D的规则(称为社会福利函数)。这表明满足所有一般条件的民主选择要么是强加的，要么就是独裁的结果。
换句话说，阿罗不可能性定理指出，多数规则的一个根本缺陷就是在实际决策中往往导致循环投票。
在得多数票获胜的规则下，每个人均按照他的偏好来投票。不难看出，大多数人是偏好X胜于Y，同样大多数人也是偏好Y胜于Z。按照逻辑上的一致性，这种偏好应当是可以传递的(transitivity)，即大多数人偏好X胜于Z。但实际上，大多数人偏好Z胜于X。因此，以投票的多数规则来确定社会或集体的选择会产生循环的结果。结果，在这些选择方案中，没有一个能够获得多数票而通过，这就是"投票悖论"，它对所有的公共选择问题都是一种固有的难题，所有的公共选择规则都难以避开这两难境地。
那么，能不能设计出一个消除循环投票，做出合理决策的投票方案呢?阿罗的结论是:根本不存在一种能保证效率、尊重个人偏好、并且不依赖程序(agenda)的多数规则的投票方案。简单地说，阿罗的不可能定理意味着，在通常情况下，当社会所有成员的偏好为已知时，不可能通过一定的方法从个人偏好次序得出社会偏好次序，不可能通过一定的程序准确地表达社会全体成员的个人偏好或者达到合意的公共决策。
证明过程：
第一步：假设可以找到一个决定群体, 或者独断群体, 这个群体如果一致投A>B, 投票系统将输出A>B（这个群体类似独裁系统，他把这个群体叫做quorum）；
第二步：由于候选人的平等性条件，quorum与具体的候选人A, B无关；
第三步：如果投票人子集合S，T都是quorum, 则 S∩T也是quorum；
第四步：从全体投票人去掉随便一个人，由于非独裁性条件, 这个集合必然是一个quorum；
结论：所有这些(全体投票者中去掉一个人)的quorum, 相交也应该为quorum, 但是为空集，这与与传导性条件2矛盾。证毕。
这个定理曾经震惊西方，因为证明一个社会不可能有完全的每个个人的自由--否则将导致独裁；一个社会也不可能实现完全的自由经济--否则将导致垄断。也即证明了社会福利曲线不可能存在。
阿罗不可能定理对经济学的后果
阿罗的不可能定理对福利经济学是毁灭性的。因为福利经济学假设公平是存在的。
所以当年一大批经济学家痛恨阿罗，因为敲掉人家饭碗了，李特尔，萨缪尔森等等领衔的上百篇文章对他的定理进行驳斥。但是阿罗的不可能性定理经受住了所有技术上的批评，其基本理论从来没有受到重大挑战，可以说无懈可击。所以后来这种攻击也就不了了之。毕竟萨缪尔森也是诺贝经济学奖获得者（1970年诺贝经济学奖获得者，第一个获得经济学奖的美国人），而且是数理经济学的先驱人物，是第一个把数学分析应用于经济学研究中的大家，数学也是不错的。不然也证明不了大道定理这种完全超出人直觉的东西。
loy_20002000 发表于 2017-6-3 22:36 static/image/common/back.gif
你给出的不是公理，是条件。公理如下：
公理1：对所有的x与y，有xRy或yRx，R表示优于或无差异。
建议继续好好琢磨其公设部分，不论哪个版本，都要找到其对应的客观现象。逻辑演绎部分不用管，那么多专业人士，逻辑演绎绝对不会错。这也是演绎法的根本。
loy_20002000 发表于 2017-6-3 21:06 static/image/common/back.gif
是啊，这个世界是复杂的。中学第一次学概率论，心中骂“这特么是数学吗？”现在却不这么看了。
阿罗的 ...
我来给你说个理解，你就懂了。
阿罗的公设实际上就是把人看做了理想气体分子……（理想气体：分子视作刚体，分子间不存在作用力）。也就是说，每个人都是彼此独立的，只产生弹性碰撞（平等交流且不影响彼此的思维选择），而社会就是这样一堆“分子”组成的理想气体。
我们可以完美地用一个粒子在空间上的各向自由度来类比阿罗所说的个体“偏好”，一个分子在理想平直空间内的初始运动状态（位置、方向、速率）是随机的，对应阿罗所说的“每个人的偏好各不相同，彼此独立”。然后，阿罗的“独裁”可以完美类比为对每一个分子做功，即用外部输入能量强行改变分子的运动状态（偏好）。
那么阿罗所构造的社会是什么样的呢？一个熵极高、分子分布极为平均且运动状态极为随机的封闭理想气体系统。然后阿罗不可能定理就可以等价表述为：在该系统保持封闭（没有外部输入能量/做功）的前提下，不存在使理想气体分子具有相同的运动状态（速度矢量、加速度矢量）的方法。
看出来了么？这就是一句正确的废话，因为这就是热力学第二定律的等价描述……一个初始高熵态的热系统，在不对其做功的情况下，当然不可能自发熵减……
这实际告诉我们什么呢？把人视作彼此孤立、不受影响的理想气体分子，进而把社会视作理想气体系统，得到的就必然是热力学定律的一般结论。所以阿罗的“定理”并不是啥新鲜玩意，不过是孤立静止的抽象方法在社会学上的再一次应用罢了。
然而问题是，人个体是不是彼此孤立、不受影响、只和其他人产生弹性碰撞的呢？事实上不是这样，所以我们才需要复杂性理论，因为过去这种简单性、孤立性的概率统计方法无法在社会的分析预测上表现出令人满意的预测精度和正确率。
wq1k 发表于 2017-6-3 22:21 static/image/common/back.gif
大家们都是多才多艺，触类旁通的，现在确实是越来越专业了，可能未来只有靠人工智能融会贯通来开启新 ...
可计算、合理时间有限步骤的工作人类已经不行了。我见过一道机器完成的逻辑证明题，我的证明过程与它比不够简洁，在这个方面人已经没戏了。Go的横空出世标志着围棋人类也不行了。满足某些条件的活动人类已经不行了，但AI何时遇到大瓶颈没人说得清。用田博士的话说是，以为钻到金矿了，没想到遇上花岗岩。
听说现代的粒子模型一直没解决引力的问题，万一哪个牛人爆猛料，大厦又要重新盖了；AI也是如此。Go 1.0可是用了16万盘人类对局的，所以还不够纯粹，2.0也是。Go解决了一个可计算问题，仅此而已。不能太乐观。
愚者 发表于 2017-6-3 22:46 static/image/common/back.gif
我来给你说个理解，你就懂了。
阿罗的公设实际上就是把人看做了理想气体分子……（理想气体：分子视作 ...
嘿嘿。你要是能推翻阿罗的定理，诺贝尔经济学奖就是你的了。
你的论述几乎没一句是正确的。你把基本的概念都弄错了，还讲什么内。别把萨缪尔森当傻瓜。
生如过客 发表于 2017-6-3 22:44 static/image/common/back.gif
建议继续好好琢磨其公设部分，不论哪个版本，都要找到其对应的客观现象。逻辑演绎部分不用管，那么多专业 ...
他的逻辑部分绝妙无比，把条件、公理都去掉也是杰作。我给你举个例子，少数服从多数行不通，多数服从少数总行了吧。按照他那个简单到爆的证明，居然行不通。
唯一的缺点是传递性，反对者拿这个当靶子。但仔细一想，民主选举嘛肯定得给出一个偏好排序嘛，总不能A>B>C>A或者是A=B=C嘛。
loy_20002000 发表于 2017-6-3 22:52 static/image/common/back.gif
可计算、合理时间有限步骤的工作人类已经不行了。我见过一道机器完成的逻辑证明题，我的证明过程与它比不 ...
但是Go2.0走在正确的道路上了，只是结果是难料的。
深度学习这一块 目前网上 tensorflow（google），mxnet（亚马逊支持）都有开源代码；
下载后搭建开源环境也不是啥难的事，买一块好一点的英伟达显卡 直接可以开跑了；
一些图像识别，车牌识别的案例都有；对数学的要求并没有那么高；
只是应用的话，查查人家的文献，抄抄公式 总过得了关的。
在知乎里面 搜一搜，很多搞深度学习的原创者都在；目前这一块华人比率非常高。
至于量化交易这一块，GitHub上开源的很多，专门公开API的美国网站也不少；
国内也有三四家 框架搭的比较好的，回测，策略，数据都全备。
按Google的风格，2.0出来后，1.0慢慢就公开了； 现在各家都抢的是主流深度学习平台；
目前难得是：个人投入多少合适，收益的模式在哪里？
比较看得到的是金融：量化 + 深度学习
深度学习这一块 目前网上 tensorflow（google），mxnet（亚马逊支持）都有开源代码；
下载后搭建开源环境也不是啥难的事，买一块好一点的英伟达显卡 直接可以开跑了；
一些图像识别，车牌识别的案例都有；对数学的要求并没有那么高；
只是应用的话，查查人家的文献，抄抄公式 总过得了关的。
在知乎里面 搜一搜，很多搞深度学习的原创者都在；目前这一块华人比率非常高。
至于量化交易这一块，GitHub上开源的很多，专门公开API的美国网站也不少；
国内也有三四家 框架搭的比较好的，回测，策略，数据都全备。
按Google的风格，2.0出来后，1.0慢慢就公开了； 现在各家都抢的是主流深度学习平台；
目前难得是：个人投入多少合适，收益的模式在哪里？
比较看得到的是金融：量化 + 深度学习
IMF:全球范围内的债务危机或将引爆 巴克莱银行：新一轮全球债务危机或卷土重来 新闻上开始传播这些了. 人工智能能否提前预判,提前设置,提前放风,提前规划一切呢,只要有算 力,我们甚至能将一切梦境变为现实
本帖最后由 spacejam 于 2017-6-4 21:23 编辑
loy_20002000 发表于 2017-6-3 17:59 static/image/common/back.gif
回复详尽，我喜欢哦。
这个回复的解释不对哦。
这句话的完整命题应该是这样子：
p=这个世界上唯一不变的就是变化
Q=p是不变的
我们假定P命题为真理，考察Q命题，因为P命题提到，只有“变化”是不变的，P命题并不是“变化”，所以P命题应该不是“不变”的，Q命题应该为假。
但是一旦Q命题为假，我们很明显得到P命题并不是不变的，他自身也会变化，并不是真理，那么我们又推导出来P命题为假。
我们就发现P命题为真会推出P命题为假，这就是矛盾。
=====
不好意思，上面的论证有点问题，重新梳理一次。
提出这个命题的原因是什么：
1.公理化证明需要基础命题作为逻辑起点
2.但是我们发现一切都是变化的
3.在这种情况下，我们使用“这个世界上唯一不变的就是变化”作为逻辑起点。也就是隐含“这个世界上唯一不变的就是变化”这个命题是不变的。
4.但是通过哥德尔构造哥德尔命题的方式，我们发现不知道这个命题是不变还是变化的。
另外，上面的证明有点问题，重新来：
假定Q为真，那么p是不变的，这跟p的内容矛盾，世界上有两件不变的东西“变化”和p命题，因此p为假，p为假推出q为假。
同理，Q为假可推出Q为真
因此Q是一个不知道真假的命题。
本帖最后由 spacejam 于 2017-6-4 13:22 编辑
loy_20002000 发表于 2017-6-3 19:19 static/image/common/back.gif
罗素、怀特海、希尔伯特、布尔巴基学派都试图将数学装进一个笼子。罗素、怀特海是逻辑派；希尔伯特传说是 ...
哥德尔命题不简单而且启动了第三次数学危机的根本原因就在于这不是简单的自然语言命题，而是在元数学层面直接操作成立，
这意味着它适用于任何包含皮亚诺公理的一阶逻辑。
而皮亚诺公理又是很强的命题、等同于包含自然数。
这个公理的证明一般会使用集合论来构造，自然数序列，因为要研究集合，这时候自然数概念都还没有，集合概念也没有，但是元素也没有，元素个数更不要想，自然数还没出生呢。但是，空集是客观存在的，于是我们有了第一个集合｛空集｝，这个集合里的唯一元素就是空集，然后我们继续构造集合，就得到自然数的集合论表述了。
我们郑重宣布，从这一刻开始，我们有自然数了，空集是客观存在的，我们唯一使用的就是数学归纳法。
而数学归纳法很重要的一个应用就是无限递归。
spacejam 发表于 2017-6-4 12:41 static/image/common/back.gif
这句话的完整命题应该是这样子：
p=这个世界上唯一不变的就是变化
Q=p是不变的
:P 赞一个你的认真态度。
自然语言的局限性从弗雷格开始被人重视，后人为了严格并减少歧义发明了大量的人造符号，可这朵乌云一直都在。这里就不展开了。
逻辑是一个不讨巧的学科，他经常把人们的愿景限制在一个小框架里。如物理是研究怎么发现星辰大海，而逻辑是证明我们发现不了星辰大海，一流逻辑学家都是干否定这项工作的。不讲逻辑就会出现许多错误，哪怕是柳叶刀、JAMA、Nature的专业论文也不例外。
我在知乎看过一个问题“眼保健操有用吗？”有一位引用柳叶刀+JAMA的文章论证没有用（原文没看）。我的猜测是他们的结论是在这么几个情况下得出的：
1、没有对照组。只看China这50年间的近视数据。
2、没有分析多个变量，只看眼保健操这一项。
3、问题的提出就是错误的。
如果这几个错误同时出现，研究结论的效度为0。我仅说明第三项，原文指出2010后青少年近视发病率是80%，而1960年代高中生只有30%，于是引用者的回答是无效。可是近视有深浅之分，有没有可能做了眼保健操平均是300度（假设），不做则是400呢。
通过这个例子我想说明，虽然学术界或人们标榜逻辑，但一直在误用。人们一方面拿逻辑为自己背书，一方面排斥它。牛顿爵士是聪慧的代表，那是因为大家只看他30岁之前，不看之后；类似的哥德尔1950年后的工作可以把粉丝的下巴气掉。牛顿痴迷于炼金术，这是情有可原的，毕竟当时没有分子原子的概念。但他痴迷于研究上帝就有点扯了，因为上帝问题是无法证真也无法证伪的。这些局限性我相信他是明了的，但还是无法拒绝征服未知的诱惑。哥德尔有一个上帝本体论的证明，也是奇葩呀。
回到逻辑的本质。它可以漂亮地否定一个命题或一个体系。但反过来建立一个体系就比较困难了，我知道这么说有点违背常识。拿欧几里得几何来说，有五条公理，但没有祖暅原理却无法求球体积。刚搜了下，现在的高中几何课本称祖暅原理为公理6。自然的可以认为欧几里得几何在前五条公理成立的情况下可以引入更多公理，并且公理数量无穷尽。所以欧几里得几何是一个永远无法构造完成的学科。现有流行的解决方法是A证明B，B证明C，所以公理6我看到的证明是用积分学来证明。但这个思路有两个毛病：一是A中可能有无穷个公理；二是存在循环论证。如果A是有限条公理，如一阶逻辑那样是完备系统，用A来为B、C、……N做基础是行不通的，A无法为其他系统提供证明。举例来说，B仅仅比A多一个概念t，A无论怎么推导也无法得到t。循环论证则是，积分学论证了祖暅原理，还是之前祖暅原理奠定了积分学，这个情况是可能发生的。
其他就不展开了，好多细节我还在困惑呢。总之逻辑要想解决普遍适用问题躲不开无穷概念，但在无穷的框架下说不清的事情可就太多了。
spacejam 发表于 2017-6-4 13:20 static/image/common/back.gif
哥德尔命题不简单而且启动了第三次数学危机的根本原因就在于这不是简单的自然语言命题，而是在元数学层 ...
布尔巴基学派的凋零表明试图构建元数学是不可能的。有的教科书用集合构建逻辑体系，有的用逻辑构建集合体系，到底是先有鸡还是先有蛋没法说清。有的公理化集合论颠覆了我对交集、并集、子集的概念，用自然语言描述“哦，是这样呀”，用公理化方法基本找不到北。
loy_20002000 发表于 2017-6-3 19:19 static/image/common/back.gif
罗素、怀特海、希尔伯特、布尔巴基学派都试图将数学装进一个笼子。罗素、怀特海是逻辑派；希尔伯特传说是 ...
无穷小完了是无穷大。
我们大学微积分的第一堂课作业里面有一题，列举0-1的全部有理数。
答案是这样，0，1，1/2，1/3，2/3，1/4，3/4，1/5……
套路很明显实现了列举全部有理数。
这类数无限个，但是好像是被定义为“可枚举的”。
我们再多走一步，0/1之间的实数可以这么列举吗？
康托的对角线方法告诉我们这不可能，具体操作方法在我第一篇里面。
这说明什么，这说明无穷和无穷之间不是完全对等的，他们有级别差异。
但是，我们看看上面0-1之间的有理数，我们发现这个排列跟1、2、3……自然数序列可以一一对应，
这说明他们是同级别的无穷，同样，自然数序列和正偶数序列也是“一样多”的无穷。
这里面我们发现了什么奇怪的悖论，部分跟整体一样多，自然数和整数一样多，
其实后续还可以证明直线上的点跟平面上的点一样多，同级。
这是严重违反人直觉的。
为了对这些无穷进行操作，我们定义了无穷的级别和数字，
自然数的个数我们称为“阿列夫零”个，实数个数称为“阿列夫一”个，
这样我们在运算中就可以对“无穷”进行操作了。
loy_20002000 发表于 2017-6-4 14:05 static/image/common/back.gif
赞一个你的认真态度。
自然语言的局限性从弗雷格开始被人重视，后人为了严格并减少歧义发明了大量的 ...
再一次啊。
哥德尔证明的事情并不是语义学上的歧义，而是元数学层面对所有包含自然数的系统进行操作。
本帖最后由 loy_20002000 于 2017-6-4 16:20 编辑
spacejam 发表于 2017-6-4 14:38 static/image/common/back.gif
无穷小完了是无穷大。
我们大学微积分的第一堂课作业里面有一题，列举0-1的全部有理数。
康托尔的枚举法+对角线咋看颇为神奇，仔细一想问题多多。一条线段的点与宇宙的坐标同级，介是为什么呢我不懂。对角线用了颇具争议的选择公理。类似的，选择公理不成立牛掰的分球也就不成立。
所以看似神奇的东西不是逻辑链条多么牛，而是公理与假设找的符合预期。抽象与现实的不一看康托尔尘埃的例子就明了了，我们觉得一个东西神奇是把现实的经验带入其中。直线是没有宽度的，点是没有体积的，正因为如此无穷个线段的长度之和是0。
数学基础是数理逻辑的研究范畴，而这个学科更多的是哲学或逻辑学。当代理性学科里数理逻辑可能是最冷门的分支，上一次出大成果要追溯到连续统问题的澄清，离现在有50多年了吧。
1938年，K.哥德尔证明了CH对ZFC公理系统(见公理集合论)是协调的，1963年，P.J.科恩证明CH对ZFC公理系统是独立的，是不可能判定真假的。这样，在ZFC公理系统中，CH是不可能判定真假的。
逻辑是一个无聊的东西。非常地。
loy_20002000 发表于 2017-6-4 14:27 static/image/common/back.gif
布尔巴基学派的凋零表明试图构建元数学是不可能的。有的教科书用集合构建逻辑体系，有的用逻辑构建集合体 ...
难怪说大数据重要的不是因果
受教了
loy_20002000 发表于 2017-6-4 14:27 static/image/common/back.gif
布尔巴基学派的凋零表明试图构建元数学是不可能的。有的教科书用集合构建逻辑体系，有的用逻辑构建集合体 ...
难怪说大数据重要的不是因果
受教了
本帖最后由 spacejam 于 2017-6-4 22:07 编辑
loy_20002000 发表于 2017-6-4 16:05 static/image/common/back.gif
康托尔的枚举法+对角线咋看颇为神奇，仔细一想问题多多。一条线段的点与宇宙的坐标同级，介是为什么呢我不 ...
恩，举尘埃例子你还完全没有理解无穷大的级数概念。
假定让x趋近无穷，x^2也是无穷大，e^x也是无穷大，哪个无穷大更大或者一样大呢？
我们有简单的方法，求解e^x/x^2，发现趋近无穷，这说明e^x大。
你这个例子里面无限分以后，根数不可能超过自然数数量，因此是一个阿列夫零。
好了，我们回到那个问题，康托的对角线是有助于直观理解的方法，
但是，严格的论证这样做出，比如当我们比较奇数、偶数、整数概念的时候，
我们知道奇数+偶数=整数，但是为何在无穷的级数上它们相等呢？
重点来了：
因为我们能建立一个映射，使得奇数集合里面的元素和整数集合的元素一一对应，这很容易证明，反之亦然，所以这证明了两个无限大同级。
第二个重点：
但是，我们无法建立映射，使得整数一一映射全部实数，这说明实数的级别比整数高。
无限大级别的意义：
如果没有这个级别，我们无从比较无限大和无限小操作，比如当无限大和无限大作除法的时候，结果是什么呢？
阿列夫数不是玩概念出来，而是现实需要出来。
有了阿列夫数，就不会有“直线是没有宽度的，点是没有体积的，正因为如此无穷个线段的长度之和是0。”这种疑惑出现。
这句话怎样计算呢，直线与实数集等势，是阿列夫一，点和集合元素等势，是1，所以直线上的点的和是阿列夫一个1。毫无矛盾。
loy_20002000 发表于 2017-6-4 16:05 static/image/common/back.gif
康托尔的枚举法+对角线咋看颇为神奇，仔细一想问题多多。一条线段的点与宇宙的坐标同级，介是为什么呢我不 ...
康托的对角线法的局限性就在于数学归纳法限制，这限制了对角线法只能对自然数这个级别的无穷大进行的操作，也就是对“可枚举”这个级别的无穷操作。
当对角线法应用于实数，这就无效化了。
loy_20002000 发表于 2017-6-4 14:27 static/image/common/back.gif
布尔巴基学派的凋零表明试图构建元数学是不可能的。有的教科书用集合构建逻辑体系，有的用逻辑构建集合体 ...
逻辑学里描述的必须是“命题”，这需要注意。
不过你这段话给的一个启发就是对这次数学革命的可能性，因果律定理的革命。
loy_20002000 发表于 2017-6-4 14:27 static/image/common/back.gif
布尔巴基学派的凋零表明试图构建元数学是不可能的。有的教科书用集合构建逻辑体系，有的用逻辑构建集合体 ...
咦，狭义相对论完蛋了啊
loy_20002000 发表于 2017-6-4 14:27 static/image/common/back.gif
布尔巴基学派的凋零表明试图构建元数学是不可能的。有的教科书用集合构建逻辑体系，有的用逻辑构建集合体 ...
咦，狭义相对论完蛋了啊
本帖最后由 spacejam 于 2017-6-4 19:16 编辑
阿罗的问题迟点说，主要是政治化的语句描述简单命题和结论。